7070. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6\sqrt{6}
, боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани.
Ответ. \frac{36}{\sqrt{30}}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной пирамиды ABCD
, P
— проекция точки M
на высоту DL
грани BCD
. По условию задачи \angle DAM=45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AMD
находим, что AM=DM=6\sqrt{6}
.
Прямая MP
лежит в плоскости ADL
, перпендикулярной прямой BC
, поэтому MP\perp BC
, а так как MP\perp DL
, то MP
— перпендикуляр к плоскости BCD
. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка MP
.
В прямоугольном треугольнике DML
известны катеты DM=6\sqrt{6}
и ML=\frac{1}{2}AM=3\sqrt{6}
, следовательно,
DL=\sqrt{DM^{2}+ML^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{6})^{2}+(3\sqrt{6})^{2}}=3\sqrt{30}.
Из соотношения ML\cdot DM=DL\cdot MP
находим, что
MP=\frac{ML\cdot DM}{DL}=\frac{3\sqrt{6}\cdot6\sqrt{6}}{3\sqrt{30}}=\frac{36}{\sqrt{30}}.