7072. Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды равны a
. Найдите радиус вписанного шара.
Ответ. \frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}
.
Решение. Рассмотрим сечения правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
(P
— вершина) плоскостью, проходящей через вершину P
и середины K
и L
сторон AB
и CD
основания ABCD
. В этой плоскости расположен центр вписанного шара (на высоте PM
пирамиды), поэтому в сечении мы получим равнобедренный треугольник PKL
и вписанную в него окружность с центром O
— центром сферы, вписанной в пирамиду.
Таким образом, исходная задача сводится к нахождению радиуса r
окружности, вписанной в равнобедренный треугольник PKL
с основанием KL=a
и высотой PM=a
. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.
Первый способ. Из прямоугольного треугольника PKM
находим, что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=2.
Поскольку KO
— биссектриса угла PKM
, из прямоугольного треугольника OKM
находим, что
r=OM=MK\tg\angle OKM=\frac{a}{2}\cdot\tg\frac{\beta}{2}.
Осталось найти \tg\frac{\beta}{2}
, если известно, что \tg\beta=2
. Для этого воспользуемся формулой
\tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}.
Обозначим \tg\frac{\beta}{2}=t
и решим уравнение 2=\frac{2t}{1-t^{2}}
.
Поскольку угол OKM
острый, нас устраивает только положительный корень этого уравнения: t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Следовательно,
r=\frac{a}{2}\cdot\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}.
Второй способ. Из прямоугольного треугольника PKM
по теореме Пифагора находим, что
PK=\sqrt{MK^{2}+PM^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{PO}{OM}=\frac{PK}{KM},~\mbox{или}~\frac{a-r}{r}=\sqrt{5},
откуда находим, что
r=\frac{a}{\sqrt{5}+1}=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}.
Третий способ. Пусть Q
— точка касания рассматриваемой окружности со стороной PK
. Тогда
KQ=MK=\frac{a}{2},~PQ=PK-KQ=\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}.
Прямоугольные треугольники PQO
и PMK
подобны, поэтому \frac{PQ}{OQ}=\frac{PM}{MK}
, или \frac{a(\sqrt{5}-1)}{2r}=2
, откуда находим, что r=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}
.
Четвёртый способ. Пусть p
— полупериметр треугольника PKL
, S
— его площадь. Тогда
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}KL\cdot PM}{PK+KM}=\frac{\frac{a^{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{a}{2}}=\frac{a}{\sqrt{5}+1}=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}.