7074. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. R=\frac{a\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCP
. По условию задачи угол PAM
прямоугольного треугольника PAM
равен 45^{\circ}
, поэтому
MP=MA=MB=MC=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Следовательно, M
— центр сферы, описанной около данной пирамиды, а радиус этой сферы равен \frac{a}{\sqrt{3}}
.