7075. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите радиус вписанной сферы.
Ответ. r=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{12}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCP
. Центр O
сферы радиуса r
, вписанной в данную правильную пирамиду расположен на высоте PM
, а сфера касается грани BPC
в точке, лежащей на апофеме PL
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL
. Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r
, вписанной в угол ALP
, причём OM=r
.
Обозначим через \beta
угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания. Тогда
r=OM=LM\tg\angle OLM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\frac{\beta}{2}.
Из прямоугольного треугольника PML
находим, что
\tg\beta=\frac{PM}{ML}=\frac{AM}{ML}=2.
Поскольку \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
, имеем уравнение \frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=2
. Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения:
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Следовательно,
r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{12}.