7076. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. R=\frac{5a}{4\sqrt{3}}
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
, K
— середина AB
. Пусть боковое ребро данной пирамиды образует с плоскостью основания угол \alpha
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APC
. Поскольку центр сферы радиуса R
, описанной около пирамиды, расположен на её высоте PM
, эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса R
, описанной около равнобедренного треугольника APC
. Поэтому
R=\frac{AP}{2\sin\angle PCA}=\frac{AP}{2\sin\alpha}.
Из прямоугольного треугольника PMC
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle PCM=\frac{PM}{MC}=\frac{MK\tg60^{\circ}}{MC}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Тогда
\cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{5}},~\sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{5}},
AP=PC=\frac{MC}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{2}{5}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Следовательно,
R=\frac{AP}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2\sqrt{\frac{3}{5}}}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}.
Второй способ. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
, K
— середина стороны AD
. Тогда PM
— высота пирамиды,
PM=MK\tg60^{\circ}=\frac{a}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM
. Пусть эта прямая вторично пересекает описанную сферу в точке Q
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, Q
и A
. Эта плоскость пересекает сферу по окружности, радиус R
которой равен радиусу сферы.
Поскольку PQ
— диаметр этой окружности, \angle PAQ=90^{\circ}
. Тогда AM
— высота прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому AM^{2}=PM\cdot MQ
, или
\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(2R-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),
откуда находим, что R=\frac{5a}{4\sqrt{3}}
.