7078. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите угол апофемы с плоскостью соседней боковой грани.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
; K
— середина AD
. Обозначим AB=a
.
Найдём угол между апофемой PK
и плоскостью грани DPC
. Пусть H
— ортогональная проекция точки K
на плоскость грани DPC
, \varphi
— искомый угол. Тогда \varphi=\angle KPH
и \sin\varphi=\frac{KH}{PK}
.
Поскольку K
— середина отрезка AD
, расстояние KH
от точки K
до плоскости грани DPC
вдвое меньше расстояния от точки A
до этой плоскости, а так как прямая AB
параллельна плоскости DPC
, то все её точки равноудалены от этой плоскости.
Пусть E
и F
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда расстояние от точки E
до плоскости DPC
равно высоте EG
равностороннего треугольника EPF
, т. е. EG=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Поэтому
KH=\frac{1}{2}EG=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Следовательно,
\sin\varphi=\frac{KH}{PK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
