7079. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, а расстояние между противоположными рёбрами равно \frac{3a}{8}
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. \frac{8a}{3\sqrt{13}}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
; AB=BC=AC=a
; M
— центр треугольника ABC
; L
— середина BC
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на прямую AP
. Тогда прямая AP
перпендикулярна плоскости треугольника BFC
. Поэтому FL\perp BC
. Следовательно, FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP
и BC
. По условию задачи FL=\frac{3a}{8}
.
Пусть \alpha
— угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle FAL=\frac{FL}{AL}=\frac{\frac{3a}{8}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{4},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}},
AP=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{4}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3\sqrt{13}},
PM=AM\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a}{\sqrt{13}}.
Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, A
и M
. В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R
описанной сферы. Продолжим отрезок AL
за точку L
до пересечения с этой окружностью в точке A_{1}
. Тогда равнобедренный треугольник APA_{1}
вписан в окружность радиуса R
.
По известной формуле для радиуса описанной окружности треугольника (теорема синусов) находим, что
R=\frac{PA_{1}}{2\sin\angle PAM}=\frac{PA}{2\sin\alpha}=
=\frac{\frac{4a\sqrt{3}}{3\sqrt{13}}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{8a}{3\sqrt{13}}.
Второй способ. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
; AB=BC=AC=a
; M
— центр треугольника ABC
; L
— середина BC
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на прямую AP
. Тогда прямая AP
перпендикулярна плоскости треугольника BFC
. Поэтому FL\perp BC
. Следовательно, FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP
и BC
. По условию задачи FL=\frac{3a}{8}
.
Пусть \alpha
— угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle FAL=\frac{FL}{AL}=\frac{\frac{3a}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{4},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}},
AP=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{4}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3\sqrt{13}},
PM=AM\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a}{\sqrt{13}}.
Продолжим высоту пирамиды до пересечения с описанной окружностью в точке Q
и рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, A
и Q
. Эта плоскость пересекает описанную сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R
сферы. Поскольку PQ
— диаметр этой окружности, \angle PAQ=90^{\circ}
. Отрезок AM
— высота прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AM^{2}=PM\cdot MQ
, или
\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{a}{\sqrt{13}}\left(2R-\frac{a}{\sqrt{13}}\right),
откуда находим, что R=\frac{8a}{3\sqrt{13}}
.