7080. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
, а расстояние между противоположными рёбрами равно \frac{3a}{8}
. Найдите радиус вписанной сферы.
Ответ. r=\frac{a(5-\sqrt{13})}{12}=\frac{a}{5+\sqrt{13}}
.
Решение. Пусть ABCP
— данная правильная треугольная пирамида с вершиной P
; AB=BC=AC=a
; M
— центр треугольника ABC
; L
— середина BC
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на прямую AP
. Тогда прямая AP
перпендикулярна плоскости треугольника BFC
. Поэтому FL\perp BC
. Следовательно, FL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP
и BC
. По условию задачи FL=\frac{3a}{8}
.
Пусть \alpha
— угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle FAL=\frac{FL}{AL}=\frac{\frac{3a}{8}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{4},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}},~AP=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{4}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3\sqrt{13}},
PM=AM\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a}{\sqrt{13}}.
Центр O
сферы радиуса r
, вписанной в данную правильную пирамиду расположен на высоте PM
, а сфера касается грани BPC
в точке, лежащей на апофеме PL
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL
. Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r
, вписанной в угол ALP
, причём OM=r
.
Обозначим через \beta
угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания. Тогда
r=OM=LM\cdot\tg\angle OLM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\frac{\beta}{2}.
Из прямоугольного треугольника PML
находим, что
\tg\beta=\frac{PM}{ML}=\frac{\frac{a\sqrt{13}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}.
Поскольку \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
, имеем уравнение
\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения:
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{5-\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{5-\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{a(5-\sqrt{13})}{12}.