7085. Сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP
равна a
, а боковые рёбра равны 2a
. Рассматриваются отрезки с концами на рёбрах AD
и PC
, параллельные плоскости PAB
.
а) Один из этих отрезков проведён через точку M
ребра AD
такую, что AM:AD=3:4
. Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
Ответ. а) a
; б) \frac{a\sqrt{15}}{4}
.
Указание. а) Через точку M
проведите плоскость, параллельную плоскости APB
.
б) Спроектируйте произвольный отрезок с концами на AD
и PC
на плоскость APB
параллельно прямой AD
.
Решение. а) Через точку M
проведём плоскость, параллельную плоскости APB
(рис. 1). Пусть эта плоскость пересекает рёбра PD
, PC
и BC
в точках K
, L
и N
соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей KM\parallel AP
, KL\parallel CD
и LN\parallel PB
. Отрезок ML
лежит в плоскости, параллельной плоскости APB
, поэтому ML
параллелен плоскости APB
, а его концы лежат на прямых AD
и PC
. Следовательно, ML
— искомый отрезок.
Из подобия треугольников DMK
и DAP
, PKL
и PDC
, CNL
и CBP
следует, что
KM=AP\cdot\frac{DM}{AD}=2a\cdot\frac{1}{4}=\frac{a}{2},
KL=DC\cdot\frac{PK}{PD}=DC\cdot\frac{AM}{AD}=a\cdot\frac{3}{4}=\frac{3a}{4},
LN=BP\cdot\frac{CN}{CB}=BP\cdot\frac{DM}{AD}=2a\cdot\frac{1}{4}=\frac{a}{2}.
Поскольку прямая MN
параллельна плоскости CPD
, а секущая плоскость проходит через MN
и пересекает плоскость CPD
по прямой KL
, то MN\parallel KL
. В равнобедренной трапеции MKLN
(рис. 2) известны основания MN=a
, KL=\frac{3a}{4}
и боковые стороны MK=NL=\frac{a}{2}
. Найдём её диагональ ML
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на MN
. Тогда
NF=\frac{1}{2}(MN-KL)=\frac{a}{8},~MF=\frac{1}{2}(MN+KL)=\frac{7a}{8},
LF^{2}=LN^{2}-NF^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{8}\right)^{2}=\frac{15a^{2}}{64},
ML^{2}=MF^{2}+LF^{2}=\frac{49a^{2}}{64}+\frac{15a^{2}}{64}=a^{2}.
Следовательно, ML=a
.
б) Пусть теперь XY
— произвольный отрезок с концами на рёбрах AD
и CP
(рис. 3). Спроектируем его на плоскость APB
параллельно прямой AD
. При этом точка X
ребра AD
перейдёт в точку A
, а точка Y
ребра CP
— в некоторую точку Z
ребра BP
. Поскольку XY
параллельно плоскости APB
, AZ=XY
. Отрезок AZ
будет наименьшим, когда Z
— основание высоты равнобедренного треугольника APB
, опущенной из вершины A
(рис. 4). В этом случае BP\cdot AZ=AB\cdot PE
, где E
— середина AB
. Отсюда находим, что
AZ=\frac{AB\cdot PE}{BP}=\frac{a\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{2a}=\frac{a\sqrt{15}}{4}.