7096. В правильной треугольной пирамиде ABCP
с вершиной P
сторона основания равна 2. Через сторону основания BC
проведено сечение, которое пересекает ребро PA
в точке M
, причём PM:MA=1:3
, а площадь сечения равна 3. Найдите высоту пирамиды.
Ответ. 2\sqrt{\frac{11}{3}}
.
Указание. Ортогональная проекция точки M
лежит на медиане треугольника ABC
.
Решение. Пусть Q
— центр основания данной правильной пирамиды, L
— середина ребра BC
, F
— проекция точки M
на плоскость основания. Отрезок AQ
— ортогональная проекция отрезка AP
на плоскость основания, поэтому точка F
лежит на отрезке AQ
, а так как MF\parallel PQ
(как перпендикуляры к одной и той же плоскости ABC
), то
\frac{QF}{FA}=\frac{PM}{MA}=\frac{1}{3}.
Из равенства равнобедренных треугольников APB
и APC
следует равенство отрезков BM
и CM
. Медиана ML
равнобедренного треугольника BMC
является его высотой, поэтому \frac{1}{2}BC\cdot ML=3
, откуда
ML=\frac{6}{BC}=\frac{6}{2}=3.
Далее находим:
AL=BC\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},~LQ=\frac{1}{3}AL=\frac{\sqrt{3}}{3},~AQ=\frac{2}{3}AL=\frac{2\sqrt{3}}{3},
QF=\frac{1}{4}AQ=\frac{\sqrt{3}}{6},~FL=LQ+QF=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},
MF=\sqrt{ML^{2}-FL^{2}}=\sqrt{9-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{33}}{2}.
Из подобия треугольников APQ
и AMF
следует, что
PQ=MF\cdot\frac{AP}{AM}=\frac{4}{3}MF=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{33}}{2}=2\sqrt{\frac{11}{3}}.