7097. Найдите радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра с ребром a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Указание. Достройте данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей.
Решение. Первый способ. Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей (рис. 1). Поскольку у полученного параллелепипеда диагонали каждой грани равны и перпендикулярны друг другу, этот параллелепипед — куб. Его ребро равно \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Сфера, вписанная в этот куб, касается всех рёбер исходного правильного тетраэдра. Её радиус равен половине ребра куба, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Второй способ. Пусть M
— центр грани ABC
правильного тетраэдра ABCD
, а O
— центр указанной сферы. Поскольку точка O
равноудалена от сторон треугольника ABC
, её проекция на плоскость грани ABC
совпадает с точкой M
, т. е. центр сферы лежит на высоте тетраэдра.
Пусть r
— искомый радиус, K
— середина AB
, N
— середина AD
. Тогда
KM=\frac{1}{3}CK=\frac{a\sqrt{3}}{6},~AM=\frac{a\sqrt{3}}{3},~DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}},
OM=\sqrt{OK^{2}-KM^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{12}},~OD=\sqrt{ON^{2}+DN^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Поскольку OM+OD=DM
, имеем уравнение
\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{12}}+\sqrt{r^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=a\sqrt{\frac{2}{3}},
из которого находим, что r=\frac{a\sqrt{2}}{4}
.