7098. Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной a
и острым углом 60^{\circ}
. Найдите высоту параллелепипеда.
Ответ. a\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Указание. Если три плоских угла при какой-то вершине данного параллелепипеда равны по 60^{\circ}
, то плоскость, проходящая через концы трёх рёбер, исходящих из этой вершины, отсекает от параллелепипеда правильный тетраэдр, высота которого равна высоте параллелепипеда.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед, причём AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
. Предположим, что все плоские углы при вершине A
равны по 60^{\circ}
. Тогда AB=AD=BD=AA_{1}=A_{1}B=A_{1}D
, поэтому треугольная пирамида A_{1}ABD
— правильный тетраэдр с ребром a
. Его высота A_{1}M
является также высотой исходного параллелепипеда.
Из прямоугольного треугольника AMA_{1}
, находим, что
A_{1}M=\sqrt{A_{1}A^{2}-AM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.