7100. Через боковое ребро PC
правильной треугольной пирамиды ABCP
проведена плоскость, параллельная стороне AB
основания. Боковое ребро PA
образует с этой плоскостью угол \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}
. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
Ответ. \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3}
или \arcsin\frac{1}{3}
.
Указание. Расстояние от точки A
до проведённой плоскости равно расстоянию от середины ребра AB
до этой плоскости. Обозначьте через a
и b
сторону основания и боковое ребро данной пирамиды и найдите отношение \frac{a}{b}
.
Решение. Обозначим через a
и b
сторону основания и боковое ребро данной пирамиды, через \alpha
— искомый угол. Пусть E
— ортогональная проекция точки A
на проведённую плоскость. По условию задачи \sin\angle APE=\frac{\sqrt{2}}{3}
, поэтому
AE=AP\sin\angle APE=\frac{b\sqrt{2}}{3}.
Поскольку прямая AB
параллельна проведённой плоскости, все её точки равноудалены от этой плоскости.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки C
, P
и середину K
ребра AB
. В этой плоскости расположен центр M
основания пирамиды. Высота KD
треугольника CPK
перпендикулярна плоскости, проведённой через прямую CP
параллельно AB
, поскольку KD\perp PC
и KD\perp AB
(прямая AB
перпендикулярна плоскости CPK
, содержащей KD
). Значит, KD=AE=\frac{b\sqrt{2}}{3}
. Рассмотрим треугольник CPK
. В нём
CK\cdot PM=CP\cdot KD,~\mbox{или}~\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=b\cdot\frac{b\sqrt{2}}{3}.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений, получим уравнение
8b^{4}-27a^{2}b^{2}+9a^{4}=0,
откуда находим, что b=a\sqrt{3}
или b=\frac{a\sqrt{6}}{4}
.
Если b=a\sqrt{3}
, то
\cos\alpha=\cos\angle PAM=\frac{AM}{AP}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{b}=\frac{1}{3},~\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Если b=\frac{a\sqrt{6}}{4}
, то
\cos\alpha=\cos\angle PAM=\frac{AM}{AP}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{b}=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\sin\alpha=\frac{1}{3}.