7107. Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
Указание. Проведите плоскость через прямые пересечения противоположных граней данного четырёхгранного угла.
Решение. Первый способ. Пусть ABCDS
— выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S
(рис. 1). Плоскости противоположных граней ASB
и CSD
пересекаются по прямой a
, проходящей через точку S
, а граней ASD
и BSC
— по прямой b
, также проходящей через S
. Через пересекающиеся прямые a
и b
проведём плоскость \alpha
. Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это — параллелограмм.
Второй способ. Пусть ABCDS
— выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S
(рис. 2). На прямой пересечения плоскостей ASC
и BSD
возьмём произвольную точку M
. В плоскости ASC
через точку M
проведём прямую l
, отрезок которой, заключённый внутри угла ASC
делился бы точкой M
пополам. Аналогично, в плоскости BSD
через точку M
проведём прямую m
, отрезок которой, заключённый внутри угла BSD
делился бы точкой M
пополам. Тогда в сечении данного четырёхгранного угла плоскостью, проведённой через пересекающиеся прямые l
и m
, получится четырёхугольник, диагонали которого делятся их точкой пересечения пополам, т. е. параллелограмм.