7111. а) Докажите, что биссекторные плоскости двугранных углов трёхгранного угла пересекаются по одной прямой.
б) Докажите, что три плоскости, каждая из которых проведена через ребро и биссектрису противолежащей грани, пересекаются по одной прямой.
в) Докажите, что три плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису грани перпендикулярно плоскости этой грани, пересекаются по одной прямой.
Указание. б), в) Отложите на рёбрах данного трёхгранного угла от его вершины равные отрезки.
Решение. а) Биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудалённых о его граней. Пусть биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах SA
и SB
трёхгранного угла SABC
с вершиной S
пересекаются по прямой l
. Тогда произвольна точка M
прямой l
, лежащая внутри двугранного угла, равноудалена от плоскостей ASB
и ASC
, а также от плоскостей ASB
и BSC
. Значит, эта точка равноудалена от плоскостей ASC
и BSC
, поэтому она лежит в биссекторной плоскости при ребре SC
. Следовательно, все три биссекторные плоскости имеют, кроме точки S
, ещё одну общую точку M
, а значит, пересекаются по прямой SM
.
б) Отложим на рёбрах трёхгранного угла с вершиной S
равные отрезки SA
, SB
и SC
. Биссектрисы SM
, SN
и SK
равнобедренных треугольников ASB
, BSC
и ASC
являются медианами этих треугольников, поэтому отрезки AN
, BK
и CM
— медианы треугольника ABC
. Поскольку медианы треугольника пересекаются в одной точке, попарно различные плоскости ASN
, BSK
и CSM
имеют, кроме точки S
, ещё одну общую точку — точку O
пересечения медиан треугольника ABC
. Следовательно, эти плоскости проходят через прямую SO
. (Луч SO
называют биссектрисой трёхгранного угла.)
в) Отложим на рёбрах трёхгранного угла с вершиной S
равные отрезки SA
, SB
и SC
. Тогда плоскость, проходящая через биссектрису угла ASB
и перпендикулярная плоскости грани ASB
, пересекает плоскость ABC
по серединному перпендикуляру к отрезку AB
. Аналогично, две другие такие плоскости, пересекают плоскость ABC
по серединным перпендикулярам к отрезкам BC
и AC
. Эти три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке — центре O
описанной окружности треугольника ABC
. Значит, все три плоскости имеют общие точки S
и O
. Следовательно, они пересекаются по прямой SO
.