7112. Точка M
— середина ребра AD
тетраэдра ABCD
. Точка N
лежит на продолжении ребра AB
за точку B
, точка K
— на продолжении ребра AC
за точку C
, причём BN=AB
и CK=2AC
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK
. В каком отношении эта плоскость делит рёбра DB
и DC
?
Ответ. 2:1
; 3:2
.
Указание. В плоскости грани ADC
через вершину D
проведите прямую, параллельную AC
, и продолжите KM
до пересечения с этой прямой.
Решение. Прямые AK
, KM
, AD
и CD
лежат в одной плоскости. Пусть P
— точка пересечения прямых KM
и CD
. Через вершину D
проведём прямую, параллельную AK
, и продолжим KM
до пересечения с этой прямой в точке T
.
Пусть AC=a
. Тогда CK=2a
. Из равенства треугольников DMT
и AMK
следует, что DT=AK=3a
. Из подобия треугольников DPT
и CPK
находим, что
\frac{DP}{PC}=\frac{DT}{CK}=\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2}.
Аналогично находим, что секущая плоскость делит ребро DB
в отношении 2:1
, считая от вершины D
.