7113. Дан тетраэдр ABCD
. Точки M
, N
и K
лежат на рёбрах AD
, BC
и DC
соответственно, причём AM:MD=1:3
, BN:NC=1:1
и CK:KD=1:2
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK
. В каком отношении эта плоскость делит ребро AB
?
Ответ. 2:3
.
Указание. В плоскости грани ADC
через вершину D
проведите прямую, параллельную AC
, и продолжите KM
до пересечения с этой прямой.
Решение. Пусть F
— точка пересечения прямых KM
и CA
(рис. 1), P
— точка пересечения прямых FN
и AB
. Тогда четырёхугольник MKNP
— искомое сечение.
Через вершину D
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим MK
до пересечения с этой прямой в точке T
(рис. 2). Обозначим AC=a
, AF=x
. Из подобия треугольников DKT
и CKF
находим, что
DT=FC\cdot\frac{DK}{KC}=2(a+x),
а из подобия треугольников DMT
и AMF
—
DT=AF\cdot\frac{DM}{MA}=3x.
Из уравнения 2(a+x)=3x
находим, что AF=x=2a
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим FN
до пересечения с этой прямой в точке E
(рис. 3). Из равенства треугольников BNE
и CNF
следует, что BE=CF=3a
, а из подобия треугольников BPE
и APF
—
\frac{AP}{PB}=\frac{AF}{BE}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}.