7114. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точки M
, N
, K
— середины рёбер AB
, BC
и DD_{1}
соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MNK
. В каком отношении эта плоскость делит ребро CC_{1}
и диагональ DB_{1}
?
Ответ. 1:5
; 3:7
.
Решение. Продолжим отрезки MN
и DC
до пересечения в точке Q
(рис. 1). Точка Q
лежит в секущей плоскости (так как она принадлежит прямой MN
) и в плоскости грани CDD_{1}C_{1}
(так как она принадлежит прямой DC
, лежащей в этой плоскости). Следовательно, прямая QK
является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD_{1}C_{1}
.
Обозначим через E
точку пересечения этой прямой с ребром CC_{1}
. Аналогично построим точку P
пересечения прямой MN
с плоскостью грани ADD_{1}A_{1}
и точку F
пересечения секущей плоскости с ребром AA_{1}
.
Таким образом, искомое сечение — пятиугольник MNEKF
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, MN\parallel AC
(рис. 2). Поэтому четырёхугольник AMQC
— параллелограмм (MQ\parallel AC
, AM\parallel CQ
). Следовательно, QC=AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD
.
Из подобия треугольников QCE
и QDK
следует, что
\frac{CE}{DK}=\frac{QC}{QD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{3}{2}CD}=\frac{1}{3}.
Тогда
CE=\frac{1}{3}DK=\frac{1}{6}DD_{1}=\frac{1}{6}CC_{1}.
Следовательно, \frac{CE}{EC_{1}}=\frac{1}{5}
.
Пусть H
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
, L
— точка пересечения отрезков MN
и BD
. Тогда L
— середина BH
,
DL=DH+HL=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}BD=\frac{3}{4}BD.
Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD_{1}B_{1}
по прямой LK
, поэтому точка O
пересечения диагонали DB_{1}
параллелепипеда с отрезком LK
является точкой пересечения диагонали DB_{1}
с секущей плоскостью.
Пусть R
— точка пересечения прямых LK
и B_{1}D_{1}
, лежащих в плоскости параллелограмма BDD_{1}B_{1}
(рис. 3). Из равенства треугольников D_{1}KR
и DKL
следует, что
D_{1}R=DL=\frac{3}{4}BD=\frac{3}{4}B_{1}D_{1}.
Поэтому
B_{1}R=B_{1}D_{1}+D_{1}R=\frac{7}{4}B_{1}D_{1}.
Из подобия треугольников LOD
и ROB_{1}
находим, что
\frac{DO}{OB_{1}}=\frac{DL}{B_{1}R}=\frac{\frac{3}{4}BD}{\frac{7}{4}B_{1}D_{1}}=\frac{3}{7}.