7115. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой — трапеция ABCD
. Отношение оснований AD
и BC
этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D
и середины рёбер SA
и SB
. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC
?
Ответ. 2:1
.
Указание. Постройте прямую пересечения плоскостей граней ASD
и BSC
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер SA
и SB
соответственно. По теореме о пересекающихся плоскостях, проведённых через две параллельные прямые, плоскости граней ASD
и BSC
пересекаются по прямой, параллельной AD
и BC
. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с прямой DM
, L
— точка пересечения прямых KN
и SC
. Тогда четырёхугольник DMNL
— искомое сечение.
Обозначим BC=a
. Тогда AD=2a
. Из равенства треугольников KMS
и DMA
следует, что KS=AD=2a
. Продолжим KL
до пересечения с прямой BC
в точке P
. Из равенства треугольников BNP
и SNK
находим, что BP=KS=2a
. Поэтому
CP=BP-BC=2a-a=a.
Наконец, из подобия треугольников KLS
и PLC
находим, что
\frac{SL}{LC}=\frac{KS}{CP}=\frac{2a}{a}=2.