7117. Пусть M
— точка пересечения медиан основания ABC
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
; N
и K
— точки пересечения диагоналей граней AA_{1}C_{1}C
и BB_{1}C_{1}C
соответственно. Плоскость MNK
пересекает прямые B_{1}C_{1}
и CC_{1}
в точках P
и Q
соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью MNK
и найдите отношения B_{1}P:B_{1}C_{1}
и C_{1}Q:CC_{1}
.
Ответ. 2:3
; 1:1
.
Решение. Прямая NK
параллельна плоскости ABC
, так как отрезок NK
— средняя линия треугольника AC_{1}B
. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскость ABC
по прямой, параллельной NK
и проходящей через точку M
.
Пусть E
и F
— точки пересечения этой прямой с AC
и BC
соответственно, а прямые EN
и FK
пересекают рёбра A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках G
и P
. Тогда трапеция EFPG
— искомое сечение.
Пусть H
— середина AB
. Поскольку EF\parallel AB
, то
\frac{CF}{FB}=\frac{CM}{MH}=2.
Обозначим FB=a
. Тогда CF=2a
, а так как K
— точка пересечения диагоналей параллелограмма BCC_{1}B_{1}
, B_{1}P=CF=2a
и C_{1}P=FB=a
. Следовательно,
\frac{B_{1}P}{B_{1}C_{1}}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}.
Поскольку PC_{1}\parallel FC
и FC=2PC_{1}
, PC_{1}
— средняя линия треугольника FQC
, следовательно, C_{1}Q=CC_{1}
.