7119. Плоскость пересекает рёбра AB
, AC
, DC
и DB
тетраэдра ABCD
в точках M
, N
, P
и Q
соответственно, причём AM:MB=m
, AN:NC=n
, DP:PC=p
. Найдите отношение BQ:QD
.
Ответ. \frac{n}{mp}
.
Решение. Если прямая NP
параллельна прямой AD
, то NP
параллельна плоскости ABD
. В этом случае секущая плоскость пересекает плоскость ABD
по прямой MQ
, параллельной прямой NP
, поэтому
BQ:QD=BM:MA=1:m.
Пусть теперь прямая NP
пересекает прямую AD
в точке T
, лежащей на продолжении ребра AD
за точку D
(рис. 1). Тогда прямая MT
пересекает ребро BD
в некоторой точке Q
. Рассмотрим плоскость треугольника ADC
(рис. 2). Через вершину C
проведём прямую, параллельную AD
. Пусть L
— точка пересечения этой прямой с прямой NP
. Из подобия треугольников CLP
и DTP
следует, что
CL=DT\cdot\frac{CP}{PD}=\frac{DT}{p},
а из подобия треугольников CLN
и ATN
—
AT=CL\cdot\frac{AN}{NC}=CL\cdot n=DT\cdot\frac{n}{p}.
Рассмотрим теперь плоскость треугольника ABD
(рис. 3). Через вершину B
проведём прямую, параллельную AD
, и продолжим TM
до пересечения с этой прямой в точке E
. Из подобия треугольников AMT
и BME
находим, что
BE=AT\cdot\frac{BM}{AM}=\frac{AT}{m},
а из подобия треугольников TQD
и EQB
—
\frac{BQ}{QD}=\frac{BE}{DT}=\frac{\frac{AT}{m}}{DT}=\frac{DT\cdot\frac{n}{pm}}{DT}=\frac{n}{mp}.