7120. В тетраэдре ABCD
через середину M
ребра AD
, вершину C
и точку N
ребра BD
такую, что BN:ND=2:1
, проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок KP
, где K
и P
— середины рёбер AB
и CD
соответственно?
Ответ. 1:3
.
Решение. Проведём плоскость через ребро AB
и точку P
(рис. 1). Плоскости ABP
и CMN
пересекаются по прямой QL
, где Q
— точка пересечения прямых CM
и AP
, а L
— прямых BP
и CN
.
Рассмотрим плоскость треугольника BCD
(рис. 2). Через точку B
проведём прямую, параллельную CD
, и продолжим отрезки CN
до пересечения с этой прямой в точке T
. Обозначим CP=DP=a
. Из подобия треугольников BNT
и DNC
находим, что
BT=CD\cdot\frac{BN}{ND}=2a\cdot2=4a,
а из подобия треугольников CLP
и TLB
—
\frac{PL}{LB}=\frac{CP}{BT}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}.
Поскольку Q
— точка пересечения медиан треугольника ACD
,
\frac{PQ}{QA}=\frac{1}{2}.
Осталось найти, в каком отношении отрезок QL
делит медиану PK
треугольника APB
. Пусть O
— точка пересечения этих отрезков (рис. 3). Через точку Q
проведём прямую, параллельную AB
, до пересечения со стороной BP
в точке H
. Тогда
\frac{PH}{PB}=\frac{PQ}{PA}=\frac{1}{3},
поэтому
\frac{PL}{PH}=\frac{\frac{1}{5}PB}{\frac{1}{3}PB}=\frac{3}{5},~\frac{PL}{LH}=\frac{3}{2}.
Пусть G
— точка пересечения PK
и QH
. Тогда G
— середина QH
. Рассмотрим треугольник PQH
. Через вершину P
проведём прямую, параллельную QH
. Продолжим QL
до пересечения с этой прямой в точке S
. Обозначим QG=GH=b
. Из подобия треугольников PLS
и HLQ
находим, что
PS=QH\cdot\frac{PL}{LH}=2b\cdot\frac{3}{2}=3b,
а из подобия треугольников POS
и GOQ
—
\frac{PO}{OG}=\frac{PS}{QG}=\frac{3b}{b}=3.
Обозначим OG=c
. Тогда
PO=3c,~PG=4c,~KG=2PG=8c,~OK=KG+OG=9c.
Следовательно,
\frac{PO}{OK}=\frac{3c}{9c}=\frac{1}{3}.