7121. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
. Точки M
, N
и K
лежат на рёбрах AS
, BS
и CS
соответственно, причём AM:MS=1:2
, BN:NS=1:3
, CK:KS=1:1
. Постройте сечение пирамиды плоскостью MNK
. В каком отношении эта плоскость делит ребро SD
?
Ответ. 6:7
.
Указание. Постройте прямую пересечения плоскостей граней ASD
и BSC
.
Решение. Плоскости граней ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
, поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку S
параллельно AD
и BC
(рис. 1).
Пусть T
— точка пересечения этой прямой с продолжением NK
, P
— точка пересечения прямой TM
с ребром SD
. Тогда четырёхугольник NKPM
— искомое сечение.
Пусть F
— точка пересечения прямых TN
и BC
(рис. 2). Обозначим BC=a
, BF=x
. Из равенства треугольников SKT
и CKF
следует, что
ST=CF=BC+BF=a+x,
а из подобия треугольников SNT
и BNF
—
ST=BF\cdot\frac{SN}{NB}=3x.
Из уравнения a+x=3x
находим, что x=\frac{a}{2}
. Тогда ST=\frac{3a}{2}
.
Рассмотрим плоскость грани ASD
(рис. 3). Пусть L
— точка пересечения прямых TM
и AD
. Из подобия треугольников AML
и TMC
следует, что
AL=ST\cdot\frac{AM}{MS}=\frac{3a}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3a}{4},
а из подобия треугольников SPT
и DPL
—
\frac{SP}{PD}=\frac{ST}{AL}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{3a}{4}+a}=\frac{6}{7}.