7122. Постройте сечение треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
плоскостью, проходящей через точки A_{1}
и C
параллельно прямой BC_{1}
. В каком отношении эта плоскость делит ребро AB
?
Ответ. 1:1
.
Указание. Секущая плоскость пересекает плоскость боковой грани BB_{1}C_{1}C
по прямой, проходящей через вершину C
параллельно BC_{1}
.
Решение. Плоскость BB_{1}C_{1}
проходит через прямую BC_{1}
и пересекает секущую плоскость по прямой a
, проходящей через точку C
, а так как прямая BC_{1}
параллельна секущей плоскости, то a\parallel BC_{1}
. Отсюда вытекает следующее построение.
Через точку C
проведём прямую a
, параллельную BC_{1}
. Пусть P
и Q
— точки пересечения этой прямой с продолжениями рёбер B_{1}C_{1}
и B_{1}B
соответственно, а M
— точка пересечения A_{1}Q
и AB
. Тогда искомое сечение — треугольник A_{1}MC
.
Поскольку BC
— средняя линия треугольника QB_{1}P
, отрезок BM
— средняя линия треугольника A_{1}QB_{1}
, поэтому
BM=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB.
Следовательно, AM:MB=1:1
.