7124. На плоскости даны три луча с общим началом. Они делят плоскость на три тупых угла, внутри которых взято по точке. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны проходят через данные точки.
Решение. Пусть OX
, OY
, OZ
— данные лучи, расположенные в одной плоскости, а точки A
, B
и C
лежат внутри углов XOY
, XOZ
и YOZ
соответственно. Будем считать, что мы имеем плоское изображение некоторого трёхгранного угла, а точки A
, B
и C
— изображения точек, лежащих в его гранях. Построим изображение сечения этого трёхгранного угла плоскостью, проходящей через точки A
, B
и C
.
На луче OZ
возьмём произвольную точку M
. Пусть прямая MB
пересекает луч OX
в точке K
, а прямая MC
пересекает луч OY
в точке N
. Тогда прямые KN
и BC
лежат в одной плоскости. Предположим, что они пересекаются в точке L
. Тогда прямая AL
лежит в плоскости XOY
и в плоскости искомого сечения. Если P
и Q
— точки пересечения прямой AL
с лучами OX
и OY
соответственно, то прямые PB
и QC
либо параллельны (тогда дальнейшее построение очевидно), либо пересекаются в точке R
, лежащей на луче OZ
. В последнем случае треугольник PQR
— искомый.