7127. Пусть M
и N
— точки пересечения медиан граней ABD
и BCD
тетраэдра ABCD
. Найдите MN
, если известно, что AC=a
.
Ответ. \frac{a}{3}
.
Указание. Пусть L
— середина ребра BD
. Рассмотрите подобные треугольники LMN
и LAC
.
Решение. Пусть L
— середина ребра BD
. Тогда медианы AL
и CL
треугольников ABD
и BCD
проходят через точки M
и N
, причём
AM:ML=CN:NL=2:1.
Из подобия треугольников LMN
и LAC
находим, что
MN=AC\cdot\frac{LM}{LA}=\frac{1}{3}a.