7130. Около правильного тетраэдра ABCD
описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды ABCD_{1}
, ABDC_{1}
, ACDB_{1}
и BCDA_{1}
, вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями ABC_{1}
и ACD_{1}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Достройте тетраэдр до куба, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим правильный тетраэдр ABCD
до куба AB_{1}DC_{1}D_{1}CA_{1}B
(AD_{1}\parallel B_{1}C\parallel DA_{1}\parallel C_{1}B
), проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Сфера, описанная около этого куба, описана также около тетраэдра ABCD
. Пирамиды ABCD_{1}
, ABDC_{1}
, ACDB_{1}
и BCDA_{1}
— это правильные пирамиды, о которых говорится в условии задачи, а плоскости ABC_{1}
и ACD_{1}
содержат соседние грани AC_{1}BD_{1}
и AB_{1}CD_{1}
куба. Следовательно, искомый угол равен 90^{\circ}
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Турнир городов. — 1996-1997, XVIII, весенний тур, старшие классы, тренировочный вариант