7132. В треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
точки M
и N
— середины боковых рёбер BB_{1}
и CC_{1}
. Через точку O
пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая прямые MN
и AB_{1}
в точках P
и Q
соответственно. Найдите отношение PQ:OQ
.
Ответ. 3:4
.
Указание. Проведите плоскость через прямую MN
и не лежащую на ней точку O
. Эта плоскость пересекается с плоскостью ABC
по прямой, параллельной MN
.
Решение. Проведём плоскость \alpha
через прямую MN
и не лежащую на ней точку O
. Эта плоскость проходит через прямую MN
, параллельную плоскости ABC
и пересекает плоскость ABC
по прямой a
, проходящей через точку O
. Значит, прямая a
параллельна MN
, а так как MN\parallel BC
, то прямая a
параллельна прямой BC
. Пусть прямая a
пересекает стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках D
и E
соответственно. Поскольку O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
,
\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}.
Прямые DM
и AB_{1}
лежат в плоскости AA_{1}B_{1}B
и пересекаются в некоторой точке Q
. Продолжим A_{1}B_{1}
до пересечения с DQ
в точке F
. Тогда
B_{1}F=BD=\frac{1}{2}AD,~\frac{QB_{1}}{QA}=\frac{B_{1}F}{AD}=\frac{1}{2},
\frac{QM}{QD}=\frac{QF+FM}{QD}=\frac{QF}{QD}+\frac{FM}{QD}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Пусть прямые OQ
и MN
пересекается в точке P
. Из подобия треугольников QMP
и QDO
находим, что
\frac{QP}{QO}=\frac{QM}{QD}=\frac{3}{4}.
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — с. 463, № 37