7133. В тетраэдре ABCD
проведены медианы AM
и DN
граней ACD
и ADB
. На этих медианах взяты соответственно точки E
и F
, причём EF\parallel BC
. Найдите отношение EF:BC
.
Ответ. 1:3
.
Указание. Проведите медиану DK
треугольника ACD
и медиану AL
треугольника ABD
.
Решение. Проведём медиану DK
треугольника ACD
и медиану AL
треугольника ABD
. Пусть P
и Q
— точки пересечения медиан треугольников ACD
и BCD
соответственно. Тогда в треугольнике AML
имеем
\frac{AP}{AM}=\frac{AQ}{AL}=\frac{2}{3},~PQ\parallel ML\parallel BC.
Поэтому точка P
совпадает с точкой E
, а точка Q
— с точкой F
(если бы это было не так, то в плоскости, содержащей параллельные прямые EF
и PQ
, лежали бы скрещивающиеся прямые AM
и DN
). Следовательно,
\frac{EF}{BC}=\frac{PQ}{BC}=\frac{\frac{2}{3}ML}{BC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{3}.
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — с. 463, № 38
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 5.52, с. 59