7134. В призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
медианы оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
пересекаются соответственно в точках O
и O_{1}
. Через середину отрезка OO_{1}
проведена прямая, параллельная прямой CA_{1}
. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если CA_{1}=a
.
Ответ. \frac{2}{3}a
.
Решение. Пусть BM
и B_{1}M_{1}
— медианы треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, P
— середина OO_{1}
, F
— середина A_{1}C
, а прямая FP
пересекает ребро BB_{1}
в точке D
. Проведём плоскость \alpha
через прямую A_{1}C
и не лежащую на ней точку P
. Поскольку точки P
и F
лежат в плоскости \alpha
, в ней лежит и точка D
, поэтому сечение данной призмы плоскостью \alpha
есть треугольник A_{1}DC
.
Через точку P
проведём в плоскости \alpha
прямую, параллельную A_{1}C
. Пусть она пересекает отрезки A_{1}D
и CD
в точках K
и N
. Тогда KN
— искомый отрезок и
\frac{KN}{A_{1}C}=\frac{DP}{DF}=\frac{BO}{BM}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
KN=\frac{2}{3}A_{1}C=\frac{2}{3}a.
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — с. 463, № 39