7135. На ребре AD
и диагонали A_{1}C
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты соответственно точки M
и N
, причём прямая MN
параллельна плоскости BDC_{1}
и AM:AD=1:5
. Найдите отношение CN:CA_{1}
.
Ответ. 3:5
.
Указание. Через точку M
проведите плоскость \alpha
, параллельную плоскости BDC_{1}
. Точка пересечения плоскости \alpha
с прямой CA_{1}
есть искомая точка N
.
Решение. Пусть P
— центр параллелограмма ABCD
. Плоскости BDC_{1}
и AA_{1}C_{1}C
пересекаются по прямой C_{1}P
, поэтому прямые C_{1}P
и A_{1}C
пересекаются в некоторой точке Q
, причём
\frac{CQ}{QA_{1}}=\frac{CP}{A_{1}C_{1}}=\frac{CP}{AC}=\frac{1}{2}.
Поскольку прямая MN
параллельна плоскости BDC_{1}
, эта прямая лежит в плоскости \alpha
, проходящей через точку M
параллельно плоскости BDC_{1}
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая MK
пересечения плоскостей ABCD
и \alpha
параллельна BD
. Пусть точка K
лежит на прямой AB
, а прямые MK
и AC
пересекаются в точке E
. Тогда
\frac{AE}{AP}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{5},~\frac{AE}{AC}=\frac{1}{10},~\frac{PC}{PE}=\frac{5}{4}.
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости \alpha
и AA_{1}C_{1}C
пересекаются по прямой, проходящей через точку E
параллельно PC_{1}
. Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой CA_{1}
и есть точка N
(прямая MN
лежит в плоскости, параллельной плоскости BDC_{1}
).
Рассмотрим параллелограмм AA_{1}C_{1}C
. Так как
CQ=\frac{1}{3}CA_{1},~CN=\frac{9}{5}CQ
то
CN=\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{3}CA_{1}=\frac{3}{5}CA_{1}.
Следовательно, \frac{CN}{CA_{1}}=\frac{3}{5}
.