7136. Дан тетраэдр
ABCD
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней
ABC
,
ABD
и
BCD
, делит ребро
BD
?
Ответ.
1:2
, считая от точки
D
.
Указание. Указанная плоскость пересекает грань
ABD
по прямой, параллельной
AD
и проходящей через точку пересечения медиан треугольника
ABD
.
Решение. Пусть
M
,
K
и
N
— точки пересечения медиан треугольников
ABC
,
ABD
и
BCD
соответственно;
CE
,
CF
и
BG
— медианы треугольников
BCD
,
ABC
и
ABD
соответственно. Тогда
\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CF}=\frac{2}{3},

поэтому
MN\parallel EF
. Значит, прямая
MN
параллельна плоскости
ABD
.
Плоскость
KMN
проходит через прямую
MN
, параллельную плоскости
ABD
, и пересекает эту плоскость по некоторой прямой
a
, проходящей через точку
K
. Значит, прямая
a
параллельна прямым
MN
,
EF
и
AD
.
Пусть прямая
a
пересекает ребро
BD
в точке
P
. Тогда
\frac{BP}{BD}=\frac{BK}{BG}=\frac{2}{3}.

Следовательно,
\frac{DP}{BP}=\frac{1}{2}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1(и), с. 8