7136. Дан тетраэдр ABCD
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней ABC
, ABD
и BCD
, делит ребро BD
?
Ответ. 1:2
, считая от точки D
.
Указание. Указанная плоскость пересекает грань ABD
по прямой, параллельной AD
и проходящей через точку пересечения медиан треугольника ABD
.
Решение. Пусть M
, K
и N
— точки пересечения медиан треугольников ABC
, ABD
и BCD
соответственно; CE
, CF
и BG
— медианы треугольников BCD
, ABC
и ABD
соответственно. Тогда
\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CF}=\frac{2}{3},
поэтому MN\parallel EF
. Значит, прямая MN
параллельна плоскости ABD
.
Плоскость KMN
проходит через прямую MN
, параллельную плоскости ABD
, и пересекает эту плоскость по некоторой прямой a
, проходящей через точку K
. Значит, прямая a
параллельна прямым MN
, EF
и AD
.
Пусть прямая a
пересекает ребро BD
в точке P
. Тогда
\frac{BP}{BD}=\frac{BK}{BG}=\frac{2}{3}.
Следовательно, \frac{DP}{BP}=\frac{1}{2}
.