7139. В тетраэдр ABCD
вписан шар радиуса r
. Плоскости, касательные к этому шару и параллельные граням тетраэдра, отсекают от тетраэдра ABCD
четыре тетраэдра. Пусть r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
— радиусы шаров, вписанных в эти тетраэдры. Докажите, что
r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=2r.
Указание. Пусть h_{1}
— высота тетраэдра, опущенная на какую-то грань. Тогда тетраэдр, отсечённый от данного плоскостью, параллельной этой грани, подобен данному с коэффициентом \frac{h_{1}-2r}{h_{1}}
.
Кроме того,
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{r}
(см. задачу 7129).
Решение. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— высоты тетраэдра. Тетраэдр, отсечённый от данного плоскостью, параллельной грани, на которую опущена высота h_{1}
, подобен данному с коэффициентом \frac{h_{1}-2r}{h_{1}}
, потому, если r_{1}
— радиус шара, вписанного в отсечённый тетраэдр, то
r_{1}=r\cdot\frac{h_{1}-2r}{h_{1}}=r\left(1-\frac{2r}{h_{1}}\right).
Аналогично
r_{2}=r\left(1-\frac{2r}{h_{2}}\right),~r_{3}=\left(1-\frac{2r}{h_{3}}\right),~r_{4}=r\left(1-\frac{2r}{h_{4}}\right).
Кроме того,
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{r}
(см. задачу 7129). Следовательно,
r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=r\left(1-\frac{2r}{h_{1}}\right)+r\left(1-\frac{2r}{h_{2}}\right)+r\left(1-\frac{2r}{h_{3}}\right)+r\left(1-\frac{2r}{h_{4}}\right)=
=r\left(4-2r\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\right)\right)=
=r\left(4-\frac{2r}{r}\right)=r(4-2)=2r.
Что и требовалось доказать.