7141. Найдите высоту правильной треугольной призмы наибольшего объёма, вписанной в шар радиуса R
.
Ответ. \frac{2R}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть V
— объём правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
со стороной основания AB=a
и высотой AA_{1}=h
, вписанной в шар с центром O
; H
и H_{1}
— центры оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда
OH=\frac{1}{2}HH_{1}=\frac{h}{2},~OA=R,~HA=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Из прямоугольного треугольника OHA
находим, что HA^{2}=OA^{2}-OH^{2}
, или
\frac{a^{2}}{3}=R^{2}-\frac{h^{2}}{4},~a^{2}=3\left(R^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)=\frac{3}{4}(4R^{2}-h^{2}).
Значит,
V(h)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h=\frac{3}{4}(4R^{2}-h^{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}h=\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^{2}h-h^{3}),
причём 0\lt h\lt2R
. Тогда
V'(h)=\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^{2}-3h^{2}).
Поскольку h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
— единственная критическая точка функции V(h)
на промежутке \left(0;2R\right)
, причём при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-
», то наибольшее значение функции на этом промежутке достигается при h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
.