7145. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри равногранного тетраэдра, до плоскостей его граней есть величина постоянная.
Указание. Примените метод объёмов.
Решение. Рассмотрим равногранный тетраэдр ABCD
. Пусть площадь каждой его грани равна S
, объём тетраэдра равен V
, а расстояния от точки M
, расположенной внутри тетраэдра до его граней ABC
, ABD
, ACD
и BCD
, равны h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
соответственно. Тогда
V=V_{MABC}+V_{MABD}+V_{MACD}+V_{MBCD}=
=\frac{1}{3}Sh_{1}+\frac{1}{3}Sh_{2}+\frac{1}{3}Sh_{3}+\frac{1}{3}Sh_{4}=\frac{1}{3}S(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}).
Отсюда получаем, что
h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}=\frac{3V}{S}.
Следовательно, сумма h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}
не зависит от положения точки M
внутри тетраэдра.