7146. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри произвольного тетраэдра, до плоскостей его граней заключена между наименьшей и наибольшей высотами.
Указание. Примените метод объёмов.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
. Пусть его объём равен V
, высоты тетраэдра, проведённые из вершин A
, B
, C
, D
, равны h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
, h_{d}
соответственно, расстояния от точки M
, расположенной внутри тетраэдра, до этих граней равны m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
, m_{d}
, площади этих граней равны S_{a}
, S_{b}
, S_{c}
, S_{d}
, а объёмы треугольных пирамид MBCD
, MACD
, MABD
, MABC
равны V_{a}
, V_{b}
, V_{c}
, V_{d}
соответственно. Предположим, что h_{a}\leqslant h_{b}\leqslant h_{c}\leqslant h_{d}
. Тогда, так как S_{a}h_{a}=S_{b}h_{b}=S_{c}h_{c}=S_{d}h_{d}=3V
, то S_{a}\geqslant S_{b}\geqslant S_{c}\geqslant S_{d}
, поэтому
m_{a}+m_{b}+m_{c}+m_{d}=\frac{3V_{a}}{S_{a}}+\frac{3V_{b}}{S_{b}}+\frac{3V_{c}}{S_{c}}+\frac{3V_{d}}{S_{d}}\leqslant
\leqslant\frac{3V_{a}}{S_{d}}+\frac{3V_{b}}{S_{d}}+\frac{3V_{c}}{S_{d}}+\frac{3V_{d}}{S_{d}}=\frac{3(V_{a}+V_{b}+V_{c}+V_{d})}{S_{d}}=\frac{3V}{S_{d}}=h_{d},
m_{a}+m_{b}+m_{c}+m_{d}=\frac{3V_{a}}{S_{a}}+\frac{3V_{b}}{S_{b}}+\frac{3V_{c}}{S_{c}}+\frac{3V_{d}}{S_{d}}\geqslant
\geqslant\frac{3V_{a}}{S_{a}}+\frac{3V_{b}}{S_{a}}+\frac{3V_{c}}{S_{a}}+\frac{3V_{d}}{S_{a}}=\frac{3(V_{a}+V_{b}+V_{c}+V_{d})}{S_{a}}=\frac{3V}{S_{a}}=h_{a}.
Что и требовалось доказать.