7148. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной диагональю d
найдите тот, который имеет наибольшую площадь полной поверхности.
Ответ. Куб с ребром \frac{d}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда с диагональю d
равны a
, b
и c
, а S
— площадь его полной поверхности. Тогда
S=2ab+2ac+2bc\leqslant(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2d^{2},
причём равенство достигается в случае, когда a=b=c
, т. е. когда параллелепипед — куб с ребром \frac{d}{\sqrt{3}}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 148, с. 26