7152. Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.
Указание. Через вершину P
данной четырёхугольной пирамиды PABCD
, проведите прямую, параллельную AD
, и отложите на ней отрезок PQ
, равный AD
. Рассмотрите треугольную пирамиду QPCD
.
Решение. Пусть PABCD
— четырёхугольная пирамида, основание которой — параллелограмм ABCD
. Через вершину P
проведём прямую, параллельную AD
, и отложим на ней отрезок PQ
, равный AD
. Рассмотрим треугольную пирамиду QPCD
. Поскольку APQD
и BPQC
— параллелограммы, треугольник CPQ
равен треугольнику PCB
, треугольник DPQ
равен треугольнику PDA
, а треугольник DQC
— треугольнику APB
. Значит, QPCD
— искомая треугольная пирамида.
У треугольных пирамид QPCD
и BCDP
с общим основанием CDP
равны высоты, проведённые из вершин Q
и B
соответственно, поэтому пирамиды QPCD
и BCDP
равновелики, а так как объём пирамиды BCDP
вдвое меньше объёма данной пирамиды PABCD
, то объём пирамиды QPCD
равен половине объёма данной пирамиды.