7154. Сферы с центрами в точках O_{1}
и O_{2}
радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M
, удалённую от O_{2}
на расстояние 3
, проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M
. Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O_{1}O_{2}
угол 45^{\circ}
.
Ответ. 2\arctg\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть прямая, образующая угол 45^{\circ}
с прямой O_{1}O_{2}
, касается данных сфер в точках B
и A
соответственно (рис. 1). Рассмотрим тетраэдр O_{1}O_{2}AB
. Достроим его до параллелепипеда ACBDA_{1}O_{1}B_{1}O_{2}
(рис. 2), проведя через противоположные рёбра тетраэдра пары параллельных плоскостей (рёбра AA_{1}
, CO_{1}
, BB_{1}
, DO_{2}
параллельны). Тогда AB\perp AO_{2}
и AB\perp O_{2}B
, поэтому прямая AB
перпендикулярна плоскости AA_{1}O_{2}D
(AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AO_{2}
и DA_{1}
этой плоскости). Значит, AB\perp AD
.
Пусть N
— точка пересечения диагоналей AB
и CD
параллелограмма ACBD
. Эти диагонали пересекаются под углом 45^{\circ}
(CD
параллельно O_{1}O_{2}
), а так как \angle DAN=90^{\circ}
и DN=NC=2
, то AB=2AN=2\sqrt{2}
.
Если теперь заменить точки A
и B
на точки касания второй данной касательной со сферами, то рассуждая аналогично, можно доказать, что вторая касательная также образует угол 45^{\circ}
с прямой O_{1}O_{2}
.
Из прямоугольного треугольника MO_{2}A
находим, что
MA=\sqrt{MO_{2}^{2}-AO_{2}^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.
Проведём плоскость через данные касательные. Она пересечёт сферы по непересекающимся окружностям, одна из которых находится вне другой, причём данные касательные будут общими внешними касательными, проведёнными к этим окружностям из точки M
.
Пусть O_{1}'
и O_{2}'
— ортогональные проекции точек O_{1}
и O_{2}
на проведённую плоскость. Тогда O_{1}'
и O_{2}'
— центры окружностей, полученных в сечении. Обозначим радиус меньшей окружности O_{2}'A=t
. Поскольку AB=AM=2\sqrt{2}
, то радиус второй окружности O_{1}'B=2t
.
Пусть O_{2}'O_{2}=x
, O_{1}'O_{1}=y
(рис. 1). Тогда
x^{2}=1-t^{2},~y^{2}=9-4t^{2}.
Пусть точки O_{1}
и O_{2}
расположены по одну сторону от плоскости сечения (рис. 3). Из прямоугольной трапеции O_{1}'O_{2}'O_{2}O_{1}
(рис. 4) находим, что
O_{1}'O_{2}'{}^{2}=16-(y-x)^{2}=16-\left(\sqrt{9-4t^{2}}-\sqrt{1-t^{2}}\right)^{2}=6+5t^{2}+2\sqrt{4t^{4}-13t^{2}+9}.
Из прямоугольной трапеции O_{1}'O_{2}'AB
находим, что
O_{1}'O_{2}'{}^{2}=t^{2}+8.
Решим уравнение
6+5t^{2}+2\sqrt{4t^{4}-13t^{2}+9}=t^{2}+8,
или
\sqrt{4t^{4}-13t^{2}+9}=1-2t^{2}.
После возведения в квадрат и упрощений, получим уравнение, из которого находим, что t^{2}=\frac{8}{9}
. Этот корень не удовлетворяет исходному уравнению. Значит, точки O_{1}
и O_{2}
не могут лежать по одну сторону от секущей плоскости.
Если же точки O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от секущей плоскости, то рассуждая аналогично, найдём, что t=\frac{2\sqrt{2}}{3}
, откуда \tg\frac{\varphi}{2}=\frac{t}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{3}
, где \varphi
— искомый угол.