7157. В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD
(S
— вершина) вписана сфера. Сторона основания пирамиды равна 8, а высота пирамиды равна 3. Точка M
— середина ребра SD
, а точка K
является ортогональной проекцией точки M
на плоскость ABCD
. Через точку M
проведена касательная к сфере, пересекающая плоскость ASC
в точке N
, причём \angle NMK=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)
. Найдите NM
.
Ответ. \frac{72}{23}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1985, билет 8, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 85-8-5, с. 269