7161. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13, а диагонали боковых граней равны 4\sqrt{10}
и 3\sqrt{17}
. Найдите его объём.
Ответ. 144.
Указание. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=13
, AD_{1}=3\sqrt{17}
, CD_{1}=4\sqrt{10}
. Примените теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABD_{1}
, BCD_{1}
и CDD_{1}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=13
, AD_{1}=3\sqrt{17}
, CD_{1}=4\sqrt{10}
. Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым AD
и AA_{1}
плоскости AA_{1}D_{1}D
, поэтому прямая AB
перпендикулярна плоскости AA_{1}D_{1}D
. Значит, AB\perp AD_{1}
. Аналогично докажем, что BC\perp CD_{1}
.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABD_{1}
, BCD_{1}
и CDD_{1}
находим, что
AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{169-153}=\sqrt{16}=4,
BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{169-160}=\sqrt{9}=3,
DD_{1}=\sqrt{CD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{CD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{160-16}=\sqrt{144}=12.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=AB\cdot BC\cdot DD_{1}=4\cdot3\cdot12=144.