7162. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна a
и составляет с одной гранью угол 30^{\circ}
, а с другой — 45^{\circ}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{8}
.
Указание. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=a
. Тогда AD_{1}
и CD_{1}
— ортогональные проекции наклонных BD_{1}
и CD_{1}
на плоскости AA_{1}D_{1}D
и DD_{1}C_{1}C
соответственно.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=a
. Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым AD
и AA_{1}
плоскости AA_{1}D_{1}D
, поэтому прямая AB
перпендикулярна плоскости AA_{1}D_{1}D
. Значит, AB\perp AD_{1}
и AD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на плоскость AA_{1}D_{1}D
. Аналогично докажем, что CD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на плоскость DD_{1}C_{1}C
. Тогда AD_{1}B
и CD_{1}B
— углы прямой BD_{1}
с плоскостями AA_{1}D_{1}D
и DD_{1}C_{1}C
соответственно.
Пусть \angle AD_{1}B=30^{\circ}
, \angle CD_{1}B=45^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников ABD_{1}
, BCD_{1}
и CDD_{1}
находим, что
AB=BD_{1}\sin30^{\circ}=\frac{a}{2},~BC=BD_{1}\sin45^{\circ}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
CD_{1}=BD_{1}\cos45^{\circ}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
DD_{1}=\sqrt{CD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{CD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a}{2}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=AB\cdot BC\cdot DD_{1}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{8}.