7163. Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
Указание. 1. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.
2. Аналогично можно доказать, что если боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
, в которой AD=BD=CD
. Пусть DH
— её высота. Поскольку прямая DH
перпендикулярна плоскости ABC
, треугольники ADH
, BDH
и CDH
прямоугольные. Они равны по катету и гипотенузе, поэтому AH=BH=CH
. Следовательно, точка H
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Для любой n
-угольной пирамиды с равными боковыми рёбрами доказательство аналогично.