7167. Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.
Указание. Докажите, что основание высоты данной пирамиды равноудалено от прямых, на которых лежат стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды.
Решение. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, боковые грани ABD
, BCD
и ACD
которой, образуют равные углы с плоскостью основания ABC
. Опустим перпендикуляры DM
, DN
и DK
из вершины пирамиды на прямые AB
, BC
и AC
соответственно. Поскольку прямая DH
перпендикулярна плоскости ABC
, отрезки HM
, HN
и HK
— проекции наклонных DM
, DN
и DK
на плоскость ABC
.
По теореме о трёх перпендикулярах HM\perp AB
, HN\perp BC
и HK\perp AC
, поэтому DMH
, DNH
и DKH
— линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью её основания. По условию \angle DMH=\angle DNH=\angle DKH
, значит, прямоугольные треугольники DMH
, DNH
и DKH
равны по катету и острому углу, поэтому MH=NH=KH
, т. е. точка H
равноудалена от прямых AB
, BC
и AC
. Следовательно, H
— либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника ABC
.
Примечание. 1. Очевидно, утверждение этой задачи равносильно следующему. Если высоты боковых граней треугольной пирамиды, проведённые из вершины, равны, то высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.
2. Если равны двугранные при рёбрах основания, а не углы между плоскостями, то ортогональная проекция вершины является именно центром вписанной в основание окружности.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.54, с. 107
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 9.2, с. 143