7169. Основание пирамиды — ромб с острым углом 30^{\circ}
. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^{\circ}
. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r
.
Ответ. \frac{8r^{3}\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр ромба.
Решение. Пусть PH
— высота пирамиды PABCD
, основание которой — ромб ABCD
с углом 30^{\circ}
при вершине A
, PM
— перпендикуляр, опущенный на сторону BC
. По теореме о трёх перпендикулярах HM\perp BC
. Значит, PMH
— линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP
и плоскостью основания ABCD
. Поэтому \angle PMH=60^{\circ}
.
Опустив перпендикуляры из вершины P
на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH
и противолежащим углом 60^{\circ}
, докажем, что точка H
равноудалена от всех четырёх прямых, содержащих стороны ромба ABCD
. Поэтому H
— центр окружности, вписанной в этот ромб, т. е. точка пересечения его диагоналей.
Опустим перпендикуляр BF
из вершины ромба на сторону AD
. Тогда BF=2r
. Из прямоугольного треугольника ABF
находим, что AB=2BF=4r
. Значит,
S_{ABCD}=AD\cdot BF\sin30^{\circ}=AB\cdot BF\sin30^{\circ}=8r^{2}.
Из прямоугольного треугольника PMH
находим, что
PH=HM\tg60^{\circ}=r\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PH=\frac{1}{3}\cdot8r^{2}\cdot r\sqrt{3}=\frac{8r^{3}\sqrt{3}}{3}.