7171. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.
Ответ. 4{,}8
; 72+24\sqrt{2}
.
Указание. Пусть прямоугольник ABCD
— основание пирамиды PABCD
с высотой PA
. Опустите перпендикуляр AM
на диагональ BD
.
Решение. Пусть прямоугольник ABCD
со сторонами AB=CD=6
и BC=AD=8
— основание пирамиды PABCD
с высотой PA=6
. Опустим перпендикуляр AM
на диагональ BD
. Поскольку AP
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, AM\perp PA
, значит, AM
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PA
и BD
.
AM
— высота прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BD\cdot AM=AB\cdot AD
, откуда находим, что
AM=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{6\cdot8}{\sqrt{36+64}}=\frac{48}{10}=4{,}8.
Поскольку AB
— ортогональная проекция наклонной PB
на плоскость ABCD
и AB\perp BC
, по теореме о трёх перпендикулярах PB\perp BC
, поэтому треугольник BCP
прямоугольный. Аналогично докажем, что треугольник CDP
также прямоугольный. Пусть S
— боковая поверхность пирамиды PABCD
. Тогда
BP=\sqrt{AB^{2}+AP^{2}}=6\sqrt{2},~DP=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}=10,
S=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ADP}+S_{\triangle BCP}+S_{\triangle CDP}=
=\frac{1}{2}AB\cdot AP+\frac{1}{2}AD\cdot AP+\frac{1}{2}BC\cdot BP+\frac{1}{2}CD\cdot DP=
=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6+\frac{1}{2}\cdot8\cdot6+\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot6\cdot10=
=18+24+24\sqrt{2}+30=72+24\sqrt{2}.