7173. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите расстояние между прямыми AA_{1}
и BD_{1}
и постройте их общий перпендикуляр.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть Q
и Q_{1}
— точки пересечения диагоналей квадратов ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Тогда прямая AQ
перпендикулярна пересекающимся прямым BD
и BB_{1}
плоскости BB_{1}D_{1}D
, поэтому AQ\perp BD_{1}
и AQ\perp AA_{1}
. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AA_{1}
и BD_{1}
равно длине отрезка AQ
, т. е. половине диагонали квадрата со стороной a
.
Из середины M
ребра AA_{1}
опустим перпендикуляр MO
на QQ_{1}
. Тогда MO\parallel AQ
, O
— середина QQ_{1}
, поэтому O
— середина BD_{1}
. Кроме того, MO
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}D_{1}D
. Следовательно, MO
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AA_{1}
и BD_{1}
и
MO=AQ=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.