7174. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите расстояние между прямыми BD_{1}
и DC_{1}
и постройте их общий перпендикуляр.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Первый способ. Опустим перпендикуляр NK
из точки N
пересечения диагоналей квадрата CC_{1}D_{1}D
на диагональ BD_{1}
куба (рис. 1). Прямая DC_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD_{1}
и BC
плоскости BCD_{1}
, поэтому KN\perp DC_{1}
. Значит, NK
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD_{1}
и DC_{1}
.
В прямоугольном треугольнике BCD_{1}
(рис. 2) известно, что
BC=a,~CD_{1}=a\sqrt{2},~BD_{1}=a\sqrt{3},~ND_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
\sin\angle BD_{1}C=\frac{BC}{BD_{1}}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
KN=ND_{1}\sin\angle BD_{1}C=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.
Второй способ. Рассмотрим сечение куба плоскостью, проходящей через вершины A_{1}
, D
и C_{1}
(рис. 3). Ортогональная проекция B_{1}D_{1}
прямой BD_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна прямой A_{1}C_{1}
, поэтому BD_{1}\perp A_{1}C_{1}
. Аналогично, BD_{1}\perp A_{1}D
. Значит, прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}DC_{1}
. Кроме того, известно, что диагональ BD_{1}
проходит через точку H
пересечения медиан треугольника A_{1}DC_{1}
, поэтому прямая A_{1}H
пересекает отрезок DC_{1}
в его середине N
, а так как треугольник A_{1}DC_{1}
равносторонний, то A_{1}N\perp DC_{1}
. Таким образом, HN\perp BD_{1}
и HN\perp DC_{1}
, т. е. HN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD_{1}
и DC_{1}
.
Поскольку треугольник A_{1}DC_{1}
равносторонний, а его сторона равна a\sqrt{2}
, то
A_{1}N=A_{1}D\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Следовательно,
HN=\frac{1}{3}A_{1}N=\frac{a\sqrt{6}}{6}.
Третий способ. Пусть N
— точка пересечения диагоналей CD_{1}
и DC_{1}
квадрата CC_{1}D_{1}D
, H
— точка на диагонали BD_{1}
куба, причём D_{1}H=\frac{1}{3}BD_{1}
. Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
. Тогда
\overrightarrow{BD_{1}}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z},~\overrightarrow{DC_{1}}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z},
\overrightarrow{HN}=\overrightarrow{HD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}N}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}C_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}D}=
=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})+\frac{1}{2}\overrightarrow{x}-\frac{1}{2}\overrightarrow{z}=\frac{1}{6}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}-\frac{1}{6}\overrightarrow{z},
\overrightarrow{HN}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}=\left(\frac{1}{6}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}-\frac{1}{6}\overrightarrow{z}\right)\cdot(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=
=-\frac{1}{6}a^{2}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{6}a^{2}=0,
\overrightarrow{HN}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}=\left(\frac{1}{6}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}-\frac{1}{6}\overrightarrow{z}\right)\cdot(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})=\frac{1}{6}a^{2}-\frac{1}{6}a^{2}=0.
Следовательно, HN\perp BD_{1}
и HN\perp DC_{1}
. Поэтому HN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD_{1}
и DC_{1}
, и
HN=\sqrt{\left(\frac{1}{6}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}-\frac{1}{6}\overrightarrow{z}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{36}+\frac{a^{2}}{9}+\frac{a^{2}}{36}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.