7175. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите расстояние между прямыми A_{1}D
и D_{1}C
и постройте их общий перпендикуляр.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим сечения данного куба плоскостями CD_{1}B_{1}
и A_{1}BD
(рис. 1). Эти плоскости параллельны, так как две пересекающиеся прямые CD_{1}
и B_{1}D_{1}
одной из них соответственно параллельны прямым BA_{1}
и BD
.
Прямая AC_{1}
перпендикулярна B_{1}D_{1}
, так как её ортогональная проекция A_{1}C_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}D_{1}
. Аналогично, AC_{1}\perp CD_{1}
. Поэтому прямая AC_{1}
перпендикулярна плоскости CB_{1}D_{1}
, а значит, и плоскости A_{1}BD
.
Кроме того, известно, что диагональ AC_{1}
проходит через точки E
и F
пересечения медиан треугольников CD_{1}B_{1}
и A_{1}BD
и делится этими точками на три равные части. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми A_{1}D
и D_{1}C
равно длине отрезка EF
. Поскольку диагональ куба с ребром a
, равна a\sqrt{3}
,
EF=\frac{1}{3}AC_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
При ортогональном проектировании треугольника A_{1}BD
на плоскость треугольника CD_{1}B_{1}
(рис. 2) центр F
треугольника A_{1}BD
переходит в центр E
треугольника CD_{1}B_{1}
, а треугольник A_{1}BD
переходит в равный ему равносторонний треугольник A'B'D'
с центром E
, причём стороны этого треугольника соответственно параллельны сторонам треугольника CD_{1}B_{1}
.
Пусть X
— точка пересечения CD_{1}
и A'D'
, а Y
— точка на отрезке A_{1}D
, которая при рассматриваемом проектировании перешла в точку X
. Тогда XY
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A_{1}D
и D_{1}C
. Ясно, что \frac{A_{1}X}{XD}=\frac{CY}{YD_{1}}=2
.
Второй способ. Пусть X
— точка на диагонали A_{1}D
квадрата AA_{1}D_{1}D
, Y
— на диагонали CD_{1}
квадрата CC_{1}D_{1}D
, причём \frac{DX}{DA_{1}}=\frac{D_{1}Y}{CD_{1}}=\frac{1}{3}
. Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
. Тогда
\overrightarrow{A_{1}D}=-\overrightarrow{z}+\overrightarrow{y},~\overrightarrow{CD_{1}}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z},
\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CY}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{DC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD_{1}}=
=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{z}+\overrightarrow{y})+\overrightarrow{x}+\frac{2}{3}(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z},
\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{AD_{1}}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)\cdot(-\overrightarrow{z}+\overrightarrow{y})=\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a^{2}=0,
\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)\cdot(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})=-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a^{2}=0.
Следовательно, XY\perp A_{1}D
и XY\perp CD_{1}
. Поэтому XY
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A_{1}D
и CD_{1}
и
XY=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{9}+\frac{a^{2}}{9}+\frac{a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.