7176. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Через прямую BD_{1}
проведена плоскость, параллельная прямой AC
. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью ABC
, если AB=a
, BC=b
, CC_{1}=c
.
Ответ. \arctg\frac{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2ab}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из вершины B_{1}
на прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Решение. Прямая A_{1}C_{1}
параллельна прямой AC
. Плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через прямую A_{1}C_{1}
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку D_{1}
, значит, прямая a
пересечения секущей плоскости с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллельна прямой A_{1}C_{1}
.
Пусть B_{1}M
— перпендикуляр, опущенный из вершины B_{1}
на прямую a
. Тогда B_{1}M
— ортогональная проекция наклонной BM
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах BM\perp a
, поэтому BMB_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Обозначим \angle BMB_{1}=\alpha
.
Отрезок B_{1}M
вдвое больше высоты B_{1}H
прямоугольного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённой из вершины прямого угла, поэтому
B_{1}M=2B_{1}H=2\cdot\frac{A_{1}B_{1}\cdot B_{1}C_{1}}{A_{1}C_{1}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Из прямоугольного треугольника BMB_{1}
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle BMB_{1}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}=\frac{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2ab}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.19, с. 29